Галина
Юрьевна
Ризниченко

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений

Поведение сложных систем складывается из сетей взаимодействия ее элементов. Простейшее – взаимодействие двух компонентов (двух переменных в модели). Качественная теория дифференциальных уравнений показывает, что уже в случае нелинейного взаимодействия двух переменных, их поведение во времени может иметь сложный характер: динамика может демонстрировать монотонное изменение, затухающие колебания, автоколебания с постоянными периодом и амплитудой. Возможно наличие двух или нескольких стационарных режимов. Удобным методом графического представления поведения системы является фазовая плоскость.

Понятие фазовых переменных и фазового пространства. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния.

Великий русский математик А. М. Ляпунов показал, что в большом числе случаев нелинейных систем (грубые системы, тип поведения которых мало изменяется при малых флуктуациях) тип устойчивости стационарного состояния можно исследовать, изучая линеаризованную систему в окрестности стационарного состояния.

Метод Ляпунова линеаризации системы в окрестности стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Понятие характеристических показателей Ляпунова. Примеры: химические реакции первого порядка. Классические системы Лотки (химическая реакция с активацией) и Вольтерры (модель взаимодействия двух видов типа хищник-жертва).