Плюснина Т. Ю., Фурсова П. В., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю.
Математические модели в биологии
(Изд. 2-e доп., М-Ижевск: РХД, 2014)
Семинар 1.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод определения устойчивости. Графический метод определения устойчивости.
Семинар 2.
Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции. Дискретная модель логистического роста.
Семинар 3.
Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Решение дискретного уравнения. Неподвижная точка. Устойчивость неподвижной точки. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.
Семинар 4.
Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Устойчивость по Ляпунову. Характеристическое уравнение. Собственные числа. Собственные вектора. Метод изоклин. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма.
Тема 5.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерра.
Семинар 6.
Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Конкуренция. Отбор одного из двух равноправных видов. Генетический триггер Жакоба и Моно.
Семинар 7.
Иерархия времен в биологических системах. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Квазистационарные концентрации. Редукция систем с учетом иерархии времен. Уравнение Михаэлиса – Ментен.
Семинар 8.
Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова – Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.
Семинар 9.
Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния системы двух уравнений реакция-диффузия. Неустойчивость Тьюринга. Активатор и ингибитор. Условия возникновения диссипативных структур.
Семинар 10.
Стехиометрические модели. Определение фермента по аминокислотной последовательности. Использование баз данных для реконструкции метаболических путей. Постановка задачи линейного программирования для потоковых моделей.
|
