Математическая биология

Математические модели в биологии : : Оценка по курсу и экзамен

Оценка по курсу

В курсе «Математические модели в биологии» действует рейтинговая система оценок. Студент может получить оценку по курсу в соответствии с рейтинговым баллом.

Рейтинговая оценочная шкала (по 5-бальной системе):

• 4,85 – 5,00 – «Отлично»;
• 4,00 – 4,84 – «Хорошо»;
• 3,50 – 3,99 – «Удовлетворительно».

При формировании рейтинговой оценки вклад различных видов работ учитывается следующим образом:

1. домашние задания и работа на семинарах (40%);
2. контрольные работы (60%), в том числе
   • 1-я контрольная работа (10%);
   • 2-я контрольная работа (40%);
   • 3-я контрольная работа (10%).

Экзамен

После прохождения курса студенты могут получить оценку автоматом в соответствии с рейтинговым баллом, либо сдать экзамен. Экзамен можно сдать как с учетом рейтинга, так и без учета рейтинга.

В случае экзамена с учетом рейтинга окончательную оценку по курсу формируют:

• ответ на экзамене (40%);
• рейтинговый балл (60%).

В случае экзамена без учета рейтинга, оценка по курсу ставится в соответствии с полученной оценкой за ответ, при этом экзамен проходит строго без доступа к электронным устройствам.

Экзаменационный билет включает два теоретических вопроса, из которых один вопрос обязательно включает материал, рассматриваемый только на лекциях и не рассматриваемый на семинарах.

Темы к экзамену

Введение

• Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. Первые модели в биологии.
• Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.

Дискретные и непрерывные модели клеточных популяций

• Модели, описываемые одним обыкновенным дифференциальным уравнением (в общем виде). Понятие стационарного состояния. Устойчивость стационарного состояния (определение по Ляпунову, асимптотическая, не асимптотическая).
• Модели роста популяций (1 ОДУ). Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модель с наименьшей критической численностью. 
• Дискретные модели (на примере модели Ферхюльста): устойчивый рост, циклы, динамический хаос.
• Модели с запаздыванием. Логистическое уравнение с запаздыванием. 
• Матричные модели популяций с возрастной структурой. Возрастная матрица Лесли.

Представление системы в фазовом пространстве переменных

• Модели, описываемые системами двух линейных автономных дифференциальных уравнений (в общем виде). Понятие фазовой плоскости, фазовой траектории. Стационарное состояние. Линеаризация решений в окрестности стационарного состояния. Характеристическое уравнение. Типы особых точек и общий вид фазовых портретов. Грубые системы.
• Схема исследования устойчивости стационарных состояний (2 ОДУ). Бифуркационная диаграмма для системы двух линейных автономных дифференциальных уравнений.
• Построение фазового портрета. Метод изоклин. Построение сепаратрис седла (нахождение собственных векторов). Определение направления движения изображающей точки по фазовой траектории. Построение кинетических кривых по фазовому портрету.

Качественные модели взаимодействий

• Модели биохимических реакций. Закон действующих масс. Модель мономолекулярных биохимических реакций. Классическая модель Лотки.
• Модели взаимодействия видов. Классическая модель Вольтерра.
• Модель конкурирующих видов в отсутствие ограничений. Методы математического описания ограничений численности. 

Иерархия времен в биологических системах

• Иерархия времен. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Примеры биологических систем с иерархией времен. Квазистационарные концентрации. Смысл малого параметра при производной. Редукция систем с учетом иерархии времен.
• Модель ферментативной реакции. Вывод формулы Михаэлиса-Ментен с использованием метода малого параметра.

Модели мультистационарных систем и переключений в биологических системах

• Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Бифуркация седло-узел. Качественное изменение поведения системы при изменении значений параметров.
• Модель конкуренции двух взаимодействующих видов (с учетом внутривидовой конкуренции). 
• Модель генетического триггера Жакоба и Моно.

Колебательные процессы

• Понятие предельного цикла и автоколебаний. Мягкое и жесткое рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Автокатализ. Типы обратной связи. 
• Брюсселятор. Примеры моделей колебательных процессов в живых системах. Гликолиз.

Квазистохастические процессы. Динамический хаос

• Понятие странного аттрактора. Пример – аттрактор в системе Лоренца. Причины возникновения нерегулярности в системе Лоренца.
• Виды аттракторов. Понятие устойчивости траектории.

Модели взаимодействия двух видов. Агентные модели

• Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий. Конкуренция. Хищник-жертва. Функция хищничества (Холлинга).
• Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова.
• Модель Базыкина. Формулировка модели. Сравнение с классической моделью Вольтерры.
• Понятие агентной модели. Клеточные автоматы. Агентная модель формирования стад животных. Модель антропогенного воздействия на поведение волков в Национальном парке Канады.

Фракталы

• Фракталы и фрактальная размерность. Примеры фрактальных структур в природе. Длина береговой линии. Объем облака. Примеры фрактальных множеств в живых системах. Формирование крон деревьев. Альвеолы легких. Мембраны митохондрий.
• Математические фракталы. Кривая Коха. Треугольник и салфетка Серпинского. Канторово множество. Канторов стержень, чертова лестница.

Пространственная организация биологических систем 

• Процессы переноса в биологических системах. Уравнения в частных производных типа реакция-диффузия-конвекция. Вывод уравнения диффузии. 
• Активные автоволновые среды. Понятие потока, законы Фика. Общий вид решения уравнения диффузии, волновое число.
• Решение линейного уравнения диффузии методом разделения переменных. Собственные функции. Устойчивость гомогенного стационарного состояния.

Диссипативные структуры в живых системах

• Дифференциация тканей и формообразование. Неустойчивость однородного в пространстве стационарного состояния – необходимое условие возникновения пространственно-временных структур.
• Модели морфогенеза. Распределенный генетический триггер Жакоба и Моно. Генетический триггер с учетом диффузии субстратов.
• Модель гидры Гирера-Майнхардта. Моделирование раскраски шкур животных.

Распространение фронтов, импульсов и волн

• Распространение волны в системах с диффузией. Базовая модель Колмогорова – Петровского – Пискунова – Фишера. Примеры
• Возбудимые среды. Распространение вида вдоль границы ареала. Распространение нервного импульса.
• Возбудимый элемент. Надпороговое и подпороговое возбуждение. Классическая модель Ходжкина-Хаксли и базовая модель Фитцхью-Нагумо. 
• Аксиоматическая модель возбудимой среды. Детальные модели процессов в кардиомиоцитах. Сердечные аритмии. Патологии сердечного ритма.

Модели

1. Экспоненциальный рост популяции (решение уравнения, график временной зависимости для численности)
2. Логистический рост (формулировка модели, решение уравнения, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
3. Модель популяции с наименьшей критической численностью (формулировка модели, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
4. Дискретное логистическое уравнение (формулировка, исследование уравнения, варианты поведения во времени). Лестница Ламерея (построение временной зависимости для численности по графику зависимости, анализ устойчивости положения равновесия)
5. Система линейных химических реакций (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
6. Модель Лотки (модель химической реакции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
7. Классическая модель Вольтерра «хищник-жертва» (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
8. Модель отбора одного из равноправных (общая модель для двух видов и модель, учитывающая ограниченность в питательных ресурсах и быстрое их поглощение по сравнению с процессами репродукции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
9. Модель конкуренции (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
10. Модель «хищник-жертва» (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
11. Модель биохимической регуляции белкового синтеза (генетический триггер Жакоба и Моно) (для m = 0 определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
12. Брюсселятор (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)
13. Модель гликолиза (упрощенная схема) (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)

Дополнительные вопросы к билетам

Вопросы по математическому аппарату

• Что является решением системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений?
• Чем стационарное состояние отличается от нестационарного?
• Можно ли определить, устойчива или неустойчива система, если мы наблюдаем за системой, находящейся в стационарном состоянии?
• Чем отличаются устойчивое и неустойчивое стационарные состояния?
• Какие решения дискретного уравнения (модель Ферхюльста) не реализуются в аналогичном дифференциальном уравнении?
• Стадии исследования системы 2-х автономных дифференциальных уравнений:
  1. стационарное состояние
  2. линеаризация
  3. характеристическое уравнение
  4. главные изоклины
  5. собственные значения
  6. устойчивость и тип стационарного состояния
  7. направление фазовых траекторий
  8. уравнения для сепаратрис
• Как с помощью изоклин можно найти стационарное состояние?
• Чем отличается силовое переключение триггера от параметрического?
• Чем отличается поведение вырожденной системы от поведения полной системы?
• Чем отличается предельный цикл от центра?
• Если мы наблюдаем за периодическими колебаниями системы с постоянной амплитудой, можно ли определить, что мы видим, предельный цикл или центр?
• Чем отличается устойчивый предельный цикл от  неустойчивого?
• Чем отличается мягкое возбуждение автоколебаний от жесткого?
• Необходимое условие возникновения автоколебаний (бифуркация Хопфа).
• Закон Фика.
• Что характеризует волновое число?

Вопросы по моделям биологических систем

• Для каких условий роста популяции справедлива модель Мальтуса?
• Какие фазы роста клеточной популяции описывает модель Ферхюльста?
• Какие дополнительные динамические режимы можно увидеть в дискретной модели Ферхюльста?
• Какое явление в популяционной динамике было объяснено с помощью модели Вольтерра?
• Какие основные режимы существования видов реализуются в модели двух равноправных видов с учетом межвидовой и внутривидовой конкуренции?
• Как может происходить «выключение» гена в модели  Жакоба и Моно?
• В чем выражается иерархия времен в модели ферментативной реакции (реакция Михаэлиса-Ментен)?
• Что было предсказано с помощью модели гликолиза?
• Как возникает дифференцировка клеток в модели морфогенеза?

Базовые понятия курса (без понимания которых оценка не ставится)

Дополнительные материалы

• Бифуркация Андронова-Хопфа

• Телефон
  +7 (495) 939-0289
  +7 (495) 939-1402
• Факс
  +7 (495) 939-1115
• E-mail
  riznich@biophys.msu.ru