Галина
Юрьевна
Ризниченко

Практические занятия

Практические занятия (семинары) для студентов второго курса Биологического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова проходят в компьютерном классе (аудитория 123) в корпусе 24 «ЛИК». На занятиях студенты учатся применять на практике полученные на лекциях знания и знакомятся с программным обеспечением, используемым для анализа математических моделей и проведения вычислительных экспериментов.

Пропущенные занятия можно отработать

  • с другой группой
  • по индивидуальному заданию преподавателя
  • в специальные дни, которые будут объявлены отдельно.

Пропущенные контрольные можно написать в дни отработки. Переписывания контрольных работ для получения более высокой оценки не предполагается.

Часть задач, предлагаемых студентам, доступна в виртуальной лаборатории на сайте.

Материалы практических занятий изданы в виде учебного пособия: Плюснина Т. Ю., Фурсова П. В., Дьяконова А. Н., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биологии (Изд. 3-e доп. Учебное пособие. М.-Ижевск: НИЦ: «Регулярная и хаотическая динамика», 2021. 174 с. ISBN: 978-5-4344-0922-3) и представлены на сайте. Предыдущие издания:

Для выполнения практических заданий Вам понадобится программа TraX. Вы можете загрузить TraX для Python для запуска на Вашем компьютере:

Для запуска понадобится установленный интерпретатор Python с установленными пакетами numpy, scipy и matplotlib (инструкция по установке и настройке). Можно загрузить автономную версию TraX (для операционной системы Windows), включающую в себя настроенный интерпретатор.

Справочная информация

Загрузить PDFОткрыть в Google Docs

  • Формула Тейлора
  • Решение уравнения логистического роста
  • Анализ поведения решения логистического уравнения
  • Геометрическая прогрессия
  • Сравнительный анализ дифференциального и дискретного уравнений
  • Лестница Ламерея
  • Общее решение системы двух обыкновенных линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Темы семинаров

Тема 1.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод определения устойчивости. Графический метод определения устойчивости.

Тема 2.
Модели популяций, описываемые одним дифференциальным уравнением: модель Мальтуса, модель Ферхюльста (логистический рост), модель с нижней и верхней критическими численностями популяции. Мультистационарные системы. Триггер. Переключение триггера.

Тема 3.
Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Решение дискретного уравнения. Неподвижная точка. Устойчивость неподвижной точки. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.

Тема 4.
Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Характеристическое уравнение. Устойчивость по Ляпунову. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма. Построение фазовых кинетических портретов.

Тема 5.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерры.

Тема 6.
Мультистационарность и триггерные переключения в системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель взаимодействия видов с учетом внутри- и межвидовой конкуренции. Генетический триггер Жакоба и Моно.

Тема 7.
Иерархия времен в биологических системах. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Квазистационарные состояния. Редукция систем с учетом иерархии времен. Уравнение Михаэлиса–Ментен.

Тема 8.
Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Брюсселятор. Модель Ходжкина–Хаксли.


Темы факультативных занятий

Тема 9.
Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния системы двух уравнений «реакция-диффузия». Неустойчивость Тьюринга. Активатор и ингибитор. Условия возникновения диссипативных структур.

Тема 10.
Стехиометрические модели. Определение фермента по аминокислотной последовательности. Использование баз данных для реконструкции метаболических путей. Постановка задачи линейного программирования для потоковых моделей.