Галина
Юрьевна
Ризниченко

Практические занятия

Практические занятия (семинары) для студентов второго курса Биологического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова проходят в компьютерных классах в корпусе 24 «ЛИК». На занятиях студенты учатся применять на практике полученные на лекциях знания и знакомятся с программным обеспечением, используемым для анализа математических моделей и проведения вычислительных экспериментов.

Пропущенные занятия можно отработать

  • с другой группой
  • по индивидуальному заданию преподавателя
  • в специальные дни, которые будут объявлены отдельно.

Пропущенные контрольные можно написать в дни отработки. Переписывания контрольных работ для получения более высокой оценки не предполагается.

Часть задач, предлагаемых студентам, доступна в виртуальной лаборатории на сайте.

Материалы практических занятий изданы в виде учебного пособия: Плюснина Т.Ю., Фурсова П. В., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биологии (Изд. 2-e доп. Учебное пособие. М.-Ижевск: НИЦ: «Регулярная и хаотическая динамика», 2014. 136 с. ISBN: 978-5-4344-0224-8) и представлены на сайте. Предыдущее издание: Фурсова П. В., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биологии (М-Ижевск: РХД, 2008).

Для выполнения практических заданий Вам понадобится программа TraX.

Для запуска понадобится установленный интерпретатор Python с установленными пакетами numpy, scipy и matplotlib (инструкция по установке и настройке). Можно загрузить автономную версию TraX (для операционной системы Windows), включающую в себя настроенный интерпретатор.

Семинар 1.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод определения устойчивости. Графический метод определения устойчивости.

Семинар 2.
Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции. Дискретная модель логистического роста.

Семинар 3.
Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Решение дискретного уравнения. Неподвижная точка. Устойчивость неподвижной точки. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.

Семинары 4 и 5.
Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Устойчивость по Ляпунову. Характеристическое уравнение. Собственные числа. Собственные вектора. Метод изоклин. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма.

Семинар 6.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерра.

Семинары 7 и 8.
Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Конкуренция. Отбор одного из двух равноправных видов. Генетический триггер Жакоба и Моно.

Семинары 9 и 10.
Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова – Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.

Семинары 11 и 12.
Иерархия времен в биологических системах. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Квазистационарные концентрации. Редукция систем с учетом иерархии времен. Уравнение Михаэлиса – Ментен.

Семинар 13 и 14.
Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния системы двух уравнений реакция-диффузия. Неустойчивость Тьюринга. Активатор и ингибитор. Условия возникновения диссипативных структур.

Семинар 15.
Стехиометрические модели. Определение фермента по аминокислотной последовательности. Использование баз данных для реконструкции метаболических путей. Постановка задачи линейного программирования для потоковых моделей.