Галина
Юрьевна
Ризниченко

Подготовка к экзамену

После прохождения курса студенты сдают экзамен. К экзамену студент имеет три оценки за каждую контрольную работу и одну суммарную оценку от преподавателя за работу на семинарах и дома. Если не написана какая-либо из контрольных работ, то на экзамене студент дополнительно к задачам билета в обязательном порядке решает задачи пропущенной контрольной работы. Если не получена оценка от преподавателя (пропущен семинар, не выполнено домашнее задание), студент также в обязательном порядке получает от преподавателя семинаров дополнительные задачи по соответствующим темам на экзамене.

Экзаменационный билет включает два вопроса: вопрос по теории и задачу. Ниже приведён список тем, включённых в экзаменационные билеты на весеннюю сессию 2016 года.

Темы к экзамену

  • Введение. Классификация моделей: модели, описываемые ОДУ, модели, описываемые уравнениями в частных производных, дискретные модели.

Динамические системы. Метаболические модели

  • Модели, описываемые одним обыкновенным дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния. Устойчивость.
  • Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модель с наименьшей критической численностью.
  • Параметрическое исследование моделей. Понятие фазопараметрической диаграммы. Бифуракция. Точка бифуркации. Бифуркационное значение параметра. Понятие бифуркационной диаграммы.
  • Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями (дискретная логистическая модель). Исследование дискретного логистического уравнения, возможные варианты поведения решения в зависимости от коэффициента прироста.
  • Возрастная матрица Лесли.
  • Модели, описываемые системами двух линейных автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Фазовая траектория. Векторное поле. Характеристическое уравнение. Собственные числа и собственные вектора. Типы особых точек и общий вид фазовых портретов. Бифуркационная диаграмма для системы двух линейных автономных дифференциальных уравнений.
  • Построение фазовых портретов. Метод изоклин. Построение сепаратрис седла (нахождение собственных векторов). Определение направления движения изображающей точки по фазовой траектории. Построение кинетических кривых по фазовому портрету и наоборот. Пример: система линейных уравнений для химических реакций.
  • Исследование поведения нелинейных систем второго порядка вблизи стационарных состояний. Линеаризация в окрестности стационарного состояния. Примеры: Системы уравнений Лотки (химическая реакция) и Вольтерры (хищник-жертва).
  • Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметричеcкое переключение триггера. Примеры: генетический триггер Жакоба и Моно; модель конкуренции двух видов (с учетом внутривидовой конкуренции).
  • Иерархия времен. Принцип «узкого места». Теорема Тихонова. Пример: ферментативная реакция Михаэлиса-Ментен.
  • Колебания в биологических системах. Понятие предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Условия существования предельного цикла в нелинейных системах. "Мягкое" и "жесткое" рождения предельного цикла. Примеры: модель колебаний в гликолизе; модель "Брюсселятор".
  • Динамический хаос. Хаос в дискретных системах. Хаос в системах, описываемых системой ОДУ. Странный аттрактор. Аттрактор Лоренца.
  • Модели взаимодействия популяций. Модель отбора одного из равноправных видов. Вольтеровские модели: модели конкуренции (с учетом внутривидовой конкуренции) и хищник-жертва (с учетом внутривидовой конкуренции). Параметрическое исследование моделей.
  • Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Понятие потока, законы Фика. Общий вид решения уравнения диффузии, волновое число. Модели типа "реакция-диффузия".
  • Система реакция-диффузия для двух уравнений. Типы неустойчивостей. Неустойчивость Тьюринга в системе "реакция-диффузия". Активатор и ингибитор. Пример: неустойчивость Тьюринга для распределенной системы «Брюсселятор». Распространение волны в системах с диффузией. Понятие активной среды.
  • Метаболические модели. Формулировка и исследование. Отличие стехиометрических (стационарных) моделей от кинетических. Метод анализа стационарных потоков. Задача оптимизации для метаболической модели. Виды целевых функций и ограничений в метаболических моделях.

Биоинформатика

  • Выравнивание. Точечные матрицы сходства последовательностей. Гомологичные фрагменты и палиндромы. Алгоритм Смита-Ваттермана.
  • Эволюционные дистанции. Пуассон-корректированная дистанция и гамма корректированная дистанция. Дистанция Кимуры, дистанция Гришина.
  • Матрицы аминокислотных замен. Вывод матриц PAM для дальних гомологов. Различия между матрицами PAM и BLOSUM.
  • Редукция задачи выравнивания. Алгоритмы, лежащие в основе BLAST и PSI-BLAST, построение профилей белков, алгоритм CLUSTAL (множественного выравнивания).
  • Эволюция первичной, вторичной и третичной структуры белка. Матрицы контактов аминокислот в белках, принцип работы DALI.
  • Задача распознавания фолда. Алгоритмы, лежащие в основе методов протягивания, построения 3D-профилей и моделирования по гомологии.

Модели

  1. Экспоненциальный рост популяции (решение уравнения, график временной зависимости для численности)
  2. Логистический рост (формулировка модели, решение уравнения, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
  3. Модель популяции с наименьшей критической численностью (формулировка модели, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
  4. Дискретное логистическое уравнение (формулировка, исследование уравнения, варианты поведения во времени). Лестница Ламерея (построение временной зависимости для численности по графику зависимости, анализ устойчивости положения равновесия)
  5. Система линейных химических реакций (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  6. Модель Лотки (модель химической реакции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  7. Классическая модель Вольтерра «хищник-жертва» (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  8. Модель отбора одного из равноправных (общая модель для двух видов и модель, учитывающая ограниченность в питательных ресурсах и быстрое их поглощение по сравнению с процессами репродукции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  9. Модель конкуренции (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  10. Модель «хищник-жертва» (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  11. Модель биохимической регуляции белкового синтеза (генетический триггер Жакоба и Моно) (для m = 0 определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
  12. Брюсселятор (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)
  13. Модель гликолиза (упрощенная схема) (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)

Дополнительные вопросы к билетам

Вопросы по математическому аппарату

  • Что является решением системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений?
  • Чем стационарное состояние отличается от нестационарного?
  • Можно ли определить, устойчива или неустойчива система, если мы наблюдаем за системой, находящейся в стационарном состоянии?
  • Чем отличаются устойчивое и неустойчивое стационарные состояния?
  • Какие решения дискретного уравнения (модель Ферхюльста) не реализуются в аналогичном дифференциальном уравнении?
  • Стадии исследования системы 2-х автономных дифференциальных уравнений:
    1. стационарное состояние
    2. линеаризация
    3. характеристическое уравнение
    4. главные изоклины
    5. собственные значения
    6. устойчивость и тип стационарного состояния
    7. направление фазовых траекторий
    8. уравнения для сепаратрис
  • Как с помощью изоклин можно найти стационарное состояние?
  • Чем отличается силовое переключение триггера от параметрического?
  • Чем отличается поведение вырожденной системы от поведения полной системы?
  • Чем отличается предельный цикл от центра?
  • Если мы наблюдаем за периодическими колебаниями системы с постоянной амплитудой, можно ли определить, что мы видим, предельный цикл или центр?
  • Чем отличается устойчивый предельный цикл от  неустойчивого?
  • Чем отличается мягкое возбуждение автоколебаний от жесткого?
  • Необходимое условие возникновения автоколебаний (бифуркация Хопфа).
  • Закон Фика.
  • Что характеризует волновое число?

Вопросы по моделям биологических систем

  • Для каких условий роста популяции справедлива модель Мальтуса?
  • Какие фазы роста клеточной популяции описывает модель Ферхюльста?
  • Какие дополнительные динамические режимы можно увидеть в дискретной модели Ферхюльста?
  • Какое явление в популяционной динамике было объяснено с помощью модели Вольтерра?
  • Какие основные режимы существования видов реализуются в модели двух равноправных видов с учетом межвидовой и внутривидовой конкуренции?
  • Как может происходить «выключение» гена в модели  Жакоба и Моно?
  • В чем выражается иерархия времен в модели ферментативной реакции (реакция Михаэлиса-Ментен)?
  • Что было предсказано с помощью модели гликолиза?
  • Как возникает дифференцировка клеток в модели морфогенеза?

Дополнительные материалы