Галина
Юрьевна
Ризниченко

Курс лекций «Математические модели в биологии»

читается автором для студентов 2-ого года обучения бакалавриата Биологического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Параллельно с лекциями проходят семинары (практические занятия), в ходе которых студенты закрепляют полученные на лекциях знания и знакомятся с программным обеспечением, используемым для анализа математических моделей и проведения вычислительных экспериментов. После прохождения курса студенты сдают экзамен. Курс включает 14 лекций по 2 академических часа.

Лекции будут прочитаны в дистанционном режиме с сентября по декабрь 2020 года.


Лекция 1. Вводная. Одно уравнение. Устойчивость

Часть 1. Введение. Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.

Часть 2. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка. Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости.

Лекция 2. Модели роста популяций (1)

Непрерывные модели: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической численностью. Модель роста человечества. Модели с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях параметра: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.

Лекция 3. Модели роста популяций (2). Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений

Часть 1. Матричные модели популяций.

Часть 2. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Метод Ляпунова линеаризации систем в окрестности стационарного состояния. Метод функции Ляпунова.

Эпиграф: Щелезубы

Лекция 4. Базовые модели математической биологии, представленные двумя автономными уравнениями

Примеры исследования устойчивости стационарных состояний моделей биологических систем. Химические реакции первого порядка. Уравнения Лотки. Уравнения Вольтерра.

Лекция 5. Мультистационарные системы. Типы бифуркаций. Катастрофы

Триггер. Примеры систем с двумя устойчивыми стационарными состояниями. Силовое и параметрическое переключение триггера. Эволюция. Отбор одного из двух и нескольких равноправных видов. Конкуренция двух видов в случае неограниченного и ограниченного роста. Генетический триггер Жакоба и Моно. Бифуркации динамических систем. Типы бифуркаций. Бифуркационные диаграммы и фазопараметрические портреты. Катастрофы.

Лекция 6. Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова

Метод квазистационарных концентраций. Теорема Тихонова. Уравнение Михаэлиса-Ментен. Формула Моно. Конкуренция двух видов, питающихся одинаковым субстратом.

Лекция 7. Колебания в биологических системах

Понятие автоколебаний. Изображение поведения автоколебательной системы на фазовой плоскости. Предельные циклы. Условия существования предельных циклов. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Модель Брюсселятор. Примеры автоколебательных моделей процессов в живых системах. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Автоколебания в модели гликолиза. Внутриклеточные колебания концентрации кальция.

Лекция 8. Динамический хаос. Модели биологических сообществ. Фракталы

Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Аттракторы. Странные аттракторы. Динамический хаос. Линейный анализ устойчивости траекторий. Диссипативные системы. Устойчивость хаотических решений. Размерность странных аттракторов. Стационарные состояния и динамические режимы в сообществе из трех видов. Динамический хаос в моделях взаимодействия видов. Трофические системы с фиксированным количеством вещества. Модель системы четырех биологических видов.

Фракталы и фрактальная размерность. Кривая Коха. Треугольник и салфетка Серпинского. Канторово множество. Канторов стержень, чертова лестница. Примеры фрактальных множеств в живых системах. Формирование крон деревьев. Альвеолы легких. Мембраны митохондрий.

Лекция 9. Модели взаимодействия видов

Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий. Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова. Модель взаимодействия двух видов насекомых МакАртура. Пространственно-временные агентные модели взаимодействия видов.

Лекция 10. Моделирование микробных популяций. Модели эпидемий

Моделирование микробных популяций. Микробные популяции как объект моделирования и управления. Непрерывная культура микроорганизмов. Модель Моно. Микроэволюционные процессы в микробных популяциях. Возрастные распределения. Двухвозрастная модель. Непрерывные возрастные распределения.

Модели эпидемий. Эпидемия в замкнутой популяции. Эпидемиологическая кривая. Классическая модель SIR. Базовое репродуктивное число инфекции. Модель COVID-19.

Лекция 11. Распределенные биологические системы

Уравнение реакция-диффузия. Почему возникают периодические структуры и волны. ААктивные кинетические среды в живых системах. Проблема формообразования. Распространение волн возбуждения. Пространственные структуры и автоволновые процессы в химических и биохимических реакциях.

Уравнение диффузии. Начальные и граничные условия. Решение уравнения диффузии. Решение однородного уравнения диффузии с нулевыми граничными условиями. Метод разделения переменных. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Решение общей краевой задачи. Линейный анализ устойчивости гомогенных стационарных решений одного уравнения типа реакция-диффузия.

Устойчивость однородных стационарных решений системы двух уравнений типа реакция-диффузия. Диссипативные структуры. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния. Зависимость вида неустойчивости от волнового числа. Неустойчивость Тьюринга. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния распределенного Брюсселятора. Диссипативные структуры вблизи порога неустойчивости. Локализованные диссипативные структуры. Линейный анализ системы реакция-электродиффузия. Типы пространственно-временных режимов.

Контрольная работа

Лекция 12. Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных

Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных. Дифференциация и морфогенез. Модель генетического триггера с диффузией (Чернавский и др.). Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Генетический триггер с учетом диффузии субстратов. Модель гидры Гирера-Майнхардта. Моделирование раскраски шкур животных. Модели агрегации амеб.

Лекция 13. Распространение импульсов, фронтов и волн. Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии

Распространение импульсов, фронтов и волн. Модель распространения фронта волны Петровского-Колмогорова-Пискунова-Фишера. Взаимодействие процессов размножения и диффузии. Локальные функции размножения. Автомодельная переменная. Распространение амброзиевого листоеда.

Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии. Распространение нервного импульса. Опыты и модель Ходчкина-Хаксли. Редуцированная модель ФитцХью-Нагумо. Возбудимый элемент локальной системы. Подпороговое и надпороговое возбуждение. Бегущие импульсы. Детальные модели кардиоцитов. Аксиоматические модели возбудимой среды. Автоволновые процессы и сердечные аритмии.

Реакция Белоусова-Жаботинского – базовая модель нелинейного пространственно-временного поведения. Модель образования зон кислотного и щелочного рН вдоль мембраны клеточной водоросли Chara corallina.

Лекция 14. Молекулярное моделирование

Иерархия масштабов биологических систем и типы моделей. Квантово-механические методы. Основы метода молекулярной динамики. Рентгеноструктурные данные. Библиотеки фрагментов. Генерация трехмерных координат. Потенциалы молекулярных взаимодействий. Совмещение молекулярных полей. Принципы организации структуры белков. Моделирование белков по гомологии. Процедуры оптимизации. Валидация моделей белков. Виртуальный скрининг и докинг. Разработка лекарственных веществ с использованием методов молекулярного моделирования. Компьютерные пакеты.

Лекция 15. Кинетические и Монте Карло модели процессов в фотосинтетической мембране

Модели биологического электронного транспорта. Окислительно-восстановительные реакции в растворе и в мультиферментных комплексах, локализованных в мембране. Процессы в энергопреобразующих мембранах митохондрий и хлоропластов. Перенос электрона в мультиферментном комплексе. Графы состояний. Примеры переноса электрона в комплексах двух и трех переносчиков. Обмен электронами комплекса с подвижными переносчиками. Модель переноса электронов в изолированной фотосистеме 2. Упрощенная и детальная кинетические модели взаимодействия фотосистем 1 и 2. Метод Монте-Карло моделирования процессов в ансамблях фотосинтетических цепей.

Лекция 16. Броуновские и молекулярные модели первичных процессов фотосинтеза

Компьютерное многочастичное моделирование. Броуновское движение подвижных переносчиков и их электростатические взаимодействия с мембранными комплексами. Броуновское описание образования предварительного комплекса белков – донора и акцептора электрона. Молекулярное описание процессов образования финального комплекса. Роль сложного интерьера клетки в кинетике наблюдаемых процессов. Модели, использующие разные типы описания процессов в фотосинтетической мембране: электронный транспорт внутри комплексов, взаимодействие подвижных белков-переносчиков с фотосинтетическим реакционным центром, пространственно-временная эволюция протонного потенциала.


Архив